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探求不变量 巧解动态题
  近几年中考试卷和模拟卷中出现了很多动态型问题,它们立意新颖,灵活多变,集几何、代数知识于一体,考查学生思维的灵活性、严密性、创新性,解决这类试题时,需要用运动和发展的眼光去分析问题,把握运动的全过程,尤其需要关注其中的不变量,这里的不变量,是指在运动过程中,保持不变的数量或关系,可以分为数值不变量和图形不变量,利用不变量解决动态问题,往往能收到事半功倍的效果,下面举例说明之.
  1 数值不变量
  数值不变量是指在运动过程中,线段长度、角的大小、图形的周长、图形的面积保持不变,或者这些量的和差倍分关系保持不变.
  例1(2012年扬州中考题)如图1,线段AB长为4,C为AB上一个动点,分别以AC,BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE长的最小值是
  分析 D,E分别在线段AC,BC的垂直平分线上,所以D,E的水平距离是不变量.
  点评 相對于建立函数关系式求最小值,利用线段MN这个不变量求解避免复杂的计算,巧妙简洁.
  分析 P在运动时,∠PAB=∠PBC,则∠PAB+∠PBA=∠PBC+∠PBA=90。,则∠P=90。,所以∠P是不变量,从而得出点P的轨迹是以AB为直径的一段弧,化隐为显.
  点评 若动点对定线段所成的张角是不变量时,动点的轨迹是圆弧.
  分析线段BB',CC',DD'的大小随着P的运动而变化,但三条线段始终满足BB'+CC'=DD',三条线段的数量关系是第一个不变量,此外,由于点P在BC上运动,BC∥AD,则△ADP的面积也是不变量.
  点评 复杂的运动和图形中可能蕴含了多个不变量,解题时应充分挖掘不变量.
  2 图形不变量
  图形不变量是指在运动过程中,图形的形状、相互关系(全等、相似)、位置关系(平行、垂直、夹角的大小)保持不变.
  点评 通过△AMN这个不变量,巧妙地将双动点问题转化成了单个动点的问题,化繁为简.
  点评 通过构造基本图形得到不变量,体现了不变量的生成性.
  点评 平行或者垂直这类位置关系的不变量是比较直观易找的.
  一般来说,求解动态问题时应先找到主动点、从动点,从整体上把握运动的全过程,进而有目标、有意识地寻找图形中是否蕴含不变量,借助于不变量去分析问题,若图形和运动比较复杂,应充分挖掘与所求量相关的不变量,若原有图形中缺少不变量,有时也可以借助基本图形来构造不变量,总之,只要在变化中抓住不变量,化隐为显,化动为静,化繁为简,就可以简洁巧妙地破解很多动态问题.

整理收集:电一体化杂志社


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