基于教材分析，发展学生核心素养的课堂设计
来源:机电一体化
1 基本情况
1.1 教材分析
本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4第一章第三节的第一节课，主要内容是周期函数的概念，以及正弦、余弦函数的周期性，在此之前本章已经学习了任意角的三角函数，以及在此基础上的诱导公式;而在本节之后将学习三角函数的图象与性质，周期性则是为作图提供了理论依据，所以本節知识既是前面知识的延续，又是后续知识的基础.
同时周期性的研究也是数形结合思想的完美表现，思想方法的教学就应渗透在平常的教学中，用好关键的章节，因此在学习周期函数的定义后，要用好课本的思考题，去探究等量关系所体现的图象特征.
通过本节课的学习，将进一步培养学生的数形结合能力、逻辑推理能力，数据分析能力以及分析问题和解决问题的能力，发展理性思维.
1.2 教学目标
（1）了解周期函数的相关概念，能从“形”和“数”的角度体会函数的周期性，会利用定义、图象和公式求一些简单三角函数的周期.
（2）通过生活中周几现象的数学化剖析，理解周而复始，提炼给出函数周期性的定义;在运用中加深对定义的理解;并尝试利用定义寻求三角函数的周期性，总结规律.
1.3 教学重难点
重点：周期函数的定义和正弦、余弦和正切函数的周期性;
难点：周期函数的概念.
2 教学过程
环节1 新知建构
教师：（1）今天周二，7天后周几？14天后呢？7天前呢？14天前呢？为什么？
学生：都是星期二！因为星期是以7天为一循环.
（2）这种现象你能用一个成语来刻画吗？
学生（讨论）：“周而复始”比较恰当.
（3）你能结合周几现象解释“周而复始”这个词吗？生活中还有其他的例子吗？
学生：每过七天，周几和今天是一样的，也就是每经过一段重复出现，与原来一样.
举例：“生活中的月份”、“离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生”等等.
活动意图通过对生活现象的剖析，让学生体会到“周而复始”的本质，即经过一定间隔又回到开始的地方.
教师：你能举出三角函数中“周而复始”现象吗？
学生：三角函数线旋转重合.
学生：还有三角函数值相等：譬如sin（x+2π）=sinx.
教师：很好，两位同学分别从“图形”和“代数”的角度让我们体会到了“周而复始”，其本质是一样的，其中代数式“sin（x+2π）= sinx”反映了任意角x的函数值等于它增加2π之后的函数值，我们把这种性质称为——周期性，
设计意图在对周而复始现象的剖析后，转入三角函数问题中周而复始现象的探究，在学生的最近发展区内进行问题的延伸探讨，并引导学生初步感受周而复始现象的数形两样特征表现，同时结合“sin（x+2π）=sinx”给出周期性的初步说明.
教师：同学们能尝试给出一般周期函数的定义吗？
学生（师生一起完善）：对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得对于定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
教师：这个定义中，哪些词应该引起我们的特别关注？
学生：“非零常数”，否则没有研究价值;“每一个”体现了任意性，不能出意外;“f（x+T）=f（x）”这是周期性“数”的本质.
教师：同学们总结得非常到位，这些关键词的理解与我们先前学习函数的奇偶性有异曲同工之处，对定义的理解也是我们进一步研究的根基.
设计意图 在之前问题解决的基础上，引导学生用自己的语言尝试提炼，进行定义的建构，培养数学抽象能力，并在三个方面进行辨析理解，即表达式、间隔的非零要求、以及自变量的任意性，与奇偶性的对照理解则加深学生对关键点处的认识.
追问1：根据周期函数的定义，正弦函数还有其他周期吗？
学生：还有，从诱导公式sin（x+2kπ）= sinx（k∈Z）中可以看出4π，甚至-4π也是它的周期;或者从三角函数线也可以看出，逆时针或者顺时针旋转两圈也可以重复.
教师：很好，这位同学从“数”与“形”的角度发现正弦函数周期的不唯一性，但由于周期函数的重复性，我们研究一个函数，只要研究一个周期即可，因此我们规定：对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期，譬如f（x）= sinx的最小正周期就是2π——其证明可参考课本的“链接”，以后我们研究函数的周期，如果不特别说明，都指最小正周期.
设计意图：借助三角函数线、诱导公式发现其他周期，进而引出最小正周期概念，说明最小正周期的研究合理性：一个周期的特征足以描述其他范围内函数的特征.
追问2：周期函数图象有什么特征？原因是？
学生：循环，重复出现，因为函数值的相等！
教师：很好，函数值的相等反映在图形上就是重复出现，之前在研究函数的奇偶性时，我们先观察到图形关于y轴对称或者原点对称，从而反映x和-x函数值的相等或者相反，即由形到数，后续我们则利用函数的周期性来研究三角函数的图象，即由数到形.
设计意图充分挖掘代数问题背后的图形特征，进行直观想象，引导学生建构完整的数形结合思想，并与函数的奇偶性研究思路进行对比：后者是先图形，再有数量的刻画，而周期性则是先有数量的刻画再有图形的特征.
环节2 知识应用
问题1：若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图1所示.
（1）求该函数的周期;
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1.1 教材分析
本节课是苏教版普通高中课程标准实验教科书必修4第一章第三节的第一节课，主要内容是周期函数的概念，以及正弦、余弦函数的周期性，在此之前本章已经学习了任意角的三角函数，以及在此基础上的诱导公式;而在本节之后将学习三角函数的图象与性质，周期性则是为作图提供了理论依据，所以本節知识既是前面知识的延续，又是后续知识的基础.
同时周期性的研究也是数形结合思想的完美表现，思想方法的教学就应渗透在平常的教学中，用好关键的章节，因此在学习周期函数的定义后，要用好课本的思考题，去探究等量关系所体现的图象特征.
通过本节课的学习，将进一步培养学生的数形结合能力、逻辑推理能力，数据分析能力以及分析问题和解决问题的能力，发展理性思维.
1.2 教学目标
（1）了解周期函数的相关概念，能从“形”和“数”的角度体会函数的周期性，会利用定义、图象和公式求一些简单三角函数的周期.
（2）通过生活中周几现象的数学化剖析，理解周而复始，提炼给出函数周期性的定义;在运用中加深对定义的理解;并尝试利用定义寻求三角函数的周期性，总结规律.
1.3 教学重难点
重点：周期函数的定义和正弦、余弦和正切函数的周期性;
难点：周期函数的概念.
2 教学过程
环节1 新知建构
教师：（1）今天周二，7天后周几？14天后呢？7天前呢？14天前呢？为什么？
学生：都是星期二！因为星期是以7天为一循环.
（2）这种现象你能用一个成语来刻画吗？
学生（讨论）：“周而复始”比较恰当.
（3）你能结合周几现象解释“周而复始”这个词吗？生活中还有其他的例子吗？
学生：每过七天，周几和今天是一样的，也就是每经过一段重复出现，与原来一样.
举例：“生活中的月份”、“离离原上草，一岁一枯荣，野火烧不尽，春风吹又生”等等.
活动意图通过对生活现象的剖析，让学生体会到“周而复始”的本质，即经过一定间隔又回到开始的地方.
教师：你能举出三角函数中“周而复始”现象吗？
学生：三角函数线旋转重合.
学生：还有三角函数值相等：譬如sin（x+2π）=sinx.
教师：很好，两位同学分别从“图形”和“代数”的角度让我们体会到了“周而复始”，其本质是一样的，其中代数式“sin（x+2π）= sinx”反映了任意角x的函数值等于它增加2π之后的函数值，我们把这种性质称为——周期性，
设计意图在对周而复始现象的剖析后，转入三角函数问题中周而复始现象的探究，在学生的最近发展区内进行问题的延伸探讨，并引导学生初步感受周而复始现象的数形两样特征表现，同时结合“sin（x+2π）=sinx”给出周期性的初步说明.
教师：同学们能尝试给出一般周期函数的定义吗？
学生（师生一起完善）：对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得对于定义域内的每一个x值，都满足f（x+T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
教师：这个定义中，哪些词应该引起我们的特别关注？
学生：“非零常数”，否则没有研究价值;“每一个”体现了任意性，不能出意外;“f（x+T）=f（x）”这是周期性“数”的本质.
教师：同学们总结得非常到位，这些关键词的理解与我们先前学习函数的奇偶性有异曲同工之处，对定义的理解也是我们进一步研究的根基.
设计意图 在之前问题解决的基础上，引导学生用自己的语言尝试提炼，进行定义的建构，培养数学抽象能力，并在三个方面进行辨析理解，即表达式、间隔的非零要求、以及自变量的任意性，与奇偶性的对照理解则加深学生对关键点处的认识.
追问1：根据周期函数的定义，正弦函数还有其他周期吗？
学生：还有，从诱导公式sin（x+2kπ）= sinx（k∈Z）中可以看出4π，甚至-4π也是它的周期;或者从三角函数线也可以看出，逆时针或者顺时针旋转两圈也可以重复.
教师：很好，这位同学从“数”与“形”的角度发现正弦函数周期的不唯一性，但由于周期函数的重复性，我们研究一个函数，只要研究一个周期即可，因此我们规定：对于一个周期函数f（x），如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f（x）的最小正周期，譬如f（x）= sinx的最小正周期就是2π——其证明可参考课本的“链接”，以后我们研究函数的周期，如果不特别说明，都指最小正周期.
设计意图：借助三角函数线、诱导公式发现其他周期，进而引出最小正周期概念，说明最小正周期的研究合理性：一个周期的特征足以描述其他范围内函数的特征.
追问2：周期函数图象有什么特征？原因是？
学生：循环，重复出现，因为函数值的相等！
教师：很好，函数值的相等反映在图形上就是重复出现，之前在研究函数的奇偶性时，我们先观察到图形关于y轴对称或者原点对称，从而反映x和-x函数值的相等或者相反，即由形到数，后续我们则利用函数的周期性来研究三角函数的图象，即由数到形.
设计意图充分挖掘代数问题背后的图形特征，进行直观想象，引导学生建构完整的数形结合思想，并与函数的奇偶性研究思路进行对比：后者是先图形，再有数量的刻画，而周期性则是先有数量的刻画再有图形的特征.
环节2 知识应用
问题1：若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图1所示.
（1）求该函数的周期;
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